以下证明三等分任意角的不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：
60度角即相当于复数Z1=1/2+√3/2i。从而S={Z0=1,Z1}，F=Q(z1,z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是
6=[Q(cos20,√-3)：Q]=[F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F][F：Q]
由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而60度不可能三等分。
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有一位古希腊人埃拉托色尼，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
他用简单的测量工具计算出了地球的周长，他发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。
埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（40076公里）相差无几。
他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。他还测出黄赤交角的二倍是圆周的11/83。这些都充分反映了他的智慧。
埃拉托色尼还是首先使用“地理学”名称的人，写成了三卷专著，描述了地球的形状、大小和海陆分布，并用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。他的《地理学》是把地理置于合理的数学基础上的最早尝试。
他还创造了一种素数筛选的普遍公式，称为“埃拉托塞尼筛法”：
“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中、将不大于√N（根号N）的素数的倍数全部划去即可”。
他对倍立方问题做过一定的研究，并制造出一种器械作图方法，还记载了倍立方问题起源的故事：
倍立方问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：
要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。
于是人们把每边增长一倍，结果体积变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；
人们又试着把体积变为原来的2倍，形状却变为一个长方体；
第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。
开始，柏拉图和他的学生根据平面作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍很容易，类推认为这个倍立方问题也很容易。但结果却难得超出他们想象。
其实这个问题，等价于对于任意定义的1用尺规做出三次根号2。简单说因为尺规作图只能做出有理数和有理数的2的n次方扩域，而含有三次根号2和有理数域的域对于有理数域的扩张次数肯定是三的倍数，不可能是2的n次方。所以尺规做不出三次根号二，也就完不成倍立方了。
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而化圆为方难题，同样有一个故事：
公元前5世纪，古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱，被判处死刑。
在等待执行的日子里，夜晚安那萨哥拉斯总睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，使他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”
安那萨哥拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料他把所有的时间都用上，也一无所获。
后经好朋友伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。他把自己狱中所想的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题。
其难度在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。
1882年法国数学家林德曼证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此线段不可作。
而这些几何问题，其实都可以转换为代数方程问题。因直尺和圆不能做出一般的立方根，所以常常无解。
在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”。
那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。
事实上，中国南宋数学家秦九韶在1247年成书的数学巨著《数学九章》中就已经发表了一元三次方程的求根公式。
而西方数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，其实是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛•冯塔纳（NiccoloFontana）。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一，在多次方程大赛对战中获胜，甚至米兰对决中以30：0完胜。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔塔里亚”来称呼冯塔纳。
而卡尔丹诺虽然是剽窃冯塔纳成果的人，但却是第一个在西方公布三次方程解的人，从人类知识分享的角度，他仍然算是一个功臣。
还有阿贝尔、伽罗瓦两位旷世奇才的故事，也十分精彩，令人扼腕。
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